第2章 関孝和

この章では、和算家として著名な関孝和(?-1708)について紹介します。当時を生きた人々には知るよしもなかったのですが、ちょうど江戸時代の折り返し点に近い時代に、日本を代表する和算家が活動していたことになります。

(1) 人物と時代

関孝和は、出生年が不明で、没年は1708年です。生涯の大半を甲府藩主徳川家に勘定を専門とする役人として仕え、晩年になって、藩主が5代将軍の後継(後の6代将軍家宣)となったことから身分は幕臣となりましたが、間もなく隠居しました。彼についての公的な生活については僅かにこのようなことだけが知られています。数学者としての知名度の割には、ほとんどその事跡は伝えられていません。

この時代の同時代人としては、文学者としては近松門左衛門、松尾芭蕉がいました。政治的な事件としては、赤穂浪士の吉良邸討ち入りを関はニュースとして知っていたはずですし、5代将軍綱吉の時代でしたので悪名高い生類憐れみの令に縛られていたはずです。

世界的な有名人としては、数学者のニュートン(1642-1727)とライプニッツ(1646-1716)がイギリスとドイツにいました。これがために関孝和の数学は微積分の創始者と並べられて紹介されることがあったのですが、お互いはもちろん知っていませんでしたし、オランダ経由で微積分が当時の日本に入ってきた形跡は見当たりません。関の数学が微積分のレベルに到達していたということもしばしばいわれますが、幾つかの公式に類似のものがあるものの、全体としてみると当時の和算と微積分は全く発想の異なった数学であり、単純な比較はできません。

(2) 著作・門人たち

さて、関は生涯に1つだけ著作を公刊しています。『発微算法』というもので、沢口一之の『古今算法記』の遺題15問に答えを与えたものです。関の著作はこれ以外にも多数残されていますが、代表的な『括要算法』は関の没後に弟子たちが刊行したものであり、『解伏題之法』などその他は刊行物ではなく、門人たちの間に手書きの写本として伝えられたものです。そしてその数学的内容は、当時考えられるだけの問題のほとんどを手がけたのではないかと思わせる程、多彩です。

関には何人かの門人がいたことが知られています。『括要算法』の刊行に携わった荒木村英と、幕府の旗本で、後に徳川吉宗に重用されることになる建部賢弘(1664-1739)は、有名な二人です。特に建部は、関孝和の『発微算法』の解説書である『発微算法演段諺解』を刊行したり、彼らの数学知識の集大成を目論んだ一大叢書『大成算経』を編纂するなどして、関の数学研究を後世に残す役割を演じたと共に、自らも独自の数学技法をまとめた『綴術算経』を残しています。関の没後、建部賢弘と協働で研究をした人物に京都の中根元圭(1662-1733)がいましたが、京都に関の成果が伝えられ、京都の書店・天王寺屋市郎兵衛から関の和算書が数点刊行されることになったきっかけは中根によるものでした。

(3) 業績

関の業績は多彩でありましたが、中でも後世への影響が大きかった事柄は、独自の記号法(傍書法)の開発と、それを用いて自由自在に数式を表現し、天元術を格段に飛躍させたこと(解伏題之法)が挙げられます。傍書法は、簡単に述べるならば数字と文字を１つの式の中に表現できるように工夫したもので、和算の数式としての表現力を向上させました。

これによって天元術も応用が加えられました。中国から最初に伝わった天元術は方程式といっても未知数が１個の場合にしか対応できませんでしたが、傍書法による数式を導入したことで、複数の未知数を１つの式に表現することができ、そこから数式の処理が簡単になりました。現代数学の用語を用いていえば、連立方程式の未知数消去が容易になったということになります。関はこの天元術の応用を様々な分野の問題に適用し、例えば正三角形から正20角形までの正多角形それぞれについて、その面積を計算する実例を『括要算法』で実践しています。

関孝和による新しいタイプの数学の出現によって、後世の和算家は多大な恩恵を受けました。数式表現が非常にシンプルになったこと、問題解法の見通しが立てやすくなったこと、各種の新しい公式が開発されたことなどです。18世紀も後半になると関孝和のことを俳句の松尾芭蕉(俳聖)や茶道の千利休(茶聖)に倣って｢算聖｣と呼ぶこともあったほど、彼の名前は和算家の間で普及していきます。関孝和の系列に連なる和算家たちが自らの集団を｢関流｣と自称するようになるのも、18世紀後半以降のことになります。次の章では、彼ら和算家の集団がどのような組織で研究を進めていったのかを紹介します。

• コラム ホーナー法(高次方程式の近似解法)（難易度3）
• コラム 円周率（難易度1）